如果有同学认真看了我写的序言，会看到我现在是M.A. 和Ph.D. 资格候选人。这个M.A. 是拉丁文magister artium的缩写，而Ph.D.则是拉丁文philosophiae doctor的缩写，这两个头衔直接翻译过来就是艺术硕士，哲学博士
资格候选人，看起来似乎和数学一点关系也没有。其实还不光是数学，在很多属于理科范畴的专业都既有M.A.，也有M.S.（理学硕士）。而在几乎所有的学科，最高学位都是Ph.D.（另外还有象医学博士M.D., 法学博士J.D.等，但从学术的角度讲都比Ph.D.要稍差一点）。现在在西方这也只是一种从中世纪流传下来的习惯，不过在我看来，它还保留有一点象征性的意义----Ph.D：无论什么学科到理论的顶点都成为哲学；M.A.：自然科学也可以是艺术的一种。
我相信大家都曾经听说过“数学的美”这个概念。这个概念在课堂教学中虽然从来不占主要地位，却仍然不断地为数学老师们所叙述。不过就我自己的经验言，从小学到大学，绝大部分人并不认为这种美比神话故事真实多少。确实，当你面对成千上万道刁钻古怪的习题，当你必须记住一大堆公式，计算某个数值精确到小数点后多少多少位，或者解一个要把你的草稿纸横过来放才能写得下的方程组的时候，如果听到下面这一段话，一定会觉得离自己太遥远了：
“数学，如果正确地看它，则具有.....至高无上的美----正象雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识----这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里
得到。”[1]
正如同欣赏一首用英语写就的英文诗我们必须掌握这一语言一样，数学的公式和符号，诸公理，定理体系就是这种我们必须要掌握的语言。另一方面，这些语言本身并不具有美的意义，是它们的组合构成了美。诗有诗的组合法则，散文有散文的，尽管它们用的可以是一种语言。这种法则是在语言背后的深层结构，通过这种法则一个文学作品可以表达远远超过自面意义的内涵，从而唤起人们的美感。我们要“看懂”一首象《荒原》这种技巧复杂的现代诗，不仅仅要懂英文或者看译文，弄懂它的字面意义，还要通过学习掌握必要的文学欣赏能力。现在对于一个理工科的大学生而言，基本的几何，代数和分析的工具都可说已经了解了，要看懂一个高等数学定理证明的每个步骤恐怕都不难，真正极为欠缺的是第二种能力，也就是理解并领会从左一步，右一步的推导过程中透露出来的内在规范的本领。
当今数学界主流认为，数学是研究模式和结构的。模式的一个简单例子就是一元二次方程 ax^2+bx+c=0，它的解可以借一个带平方根的式子表示出来。这个方程可以从许许多多完全不同的现实例子中抽象而来，但是其内在的数学性质却是一致的。在这个模式中，我们注意到a，b，c是“任意”的数，这个简单的事实却隐藏着一个深刻的思想：我们是把一个涉及无限的命题“解所有一元二次方程”用给定的条件（a，b，c）和结论（方程的解）之间的关系代替了无穷个具体的数值。现实问题无穷无尽，甚至每一个具体的问题比如说扔块石头，看看它落到什么地方也都具有无限精细的内部结构。可是对于人类来说，我们的认识是有限的，我们处理这些信息的能力就更加有限：我们只能够通过有限步逻辑推理（这是人类唯一能够做到的思维）去解决问题。我们是在无限中认识有限，又通过模式去把握无限。在这里重要的不是某个具体的结论，而是从模式中体现出来的可以处理“任意”问题的方法。这个今天看起来理所当然的方法却经历了漫长的历史才被人类认识到----从古巴比伦和古埃及发掘出来的资料显示[2]，最早的数学只有数与数之间的对应，没有一般化的“公式”。按照约简的美学观点，这也是第一个数学的美学判定法则，今天抽象的二次方程求根公式就比古代一堆（启发性的）具体答案要美。再进一步抽象，人们就不仅仅满足于解二次方程，而是要解n次方程，相应的模式就变成了带有n个常数的多项式方程。是不是有一种公式，能够把这些方程的解方便地表达出来？如果没有，那么我们知道多少？对于不同的方程，我们可以通过方程的次数n来进行分类，这个次数就是类型的一种指标，不同的类型可以有不同的处理方法----这种分类的思想，也是现代数学的一个重要特征，以至于布尔巴基学派[3]甚至认为数学就是一个（脱离主体存在的）真理和方法的仓库，数学家要做的全部工作，就是把这些精美的货物分门别类。
n次代数方程求解实在不是个容易的问题。事实上在将近两千年或者更长的时间里，代数学的主要任务就是对这个问题给出尽可能多的答案。继二次方程以后，数学家们又给出了三次方程的求根公式。这个公式里面含有平方根和立方根，而我们知道，为了让平方根“有意义”，就必须让根式里面的数大于等于零。在二次方程的情况下如果根式“没有意义”就一定不会有实数解，而在三次方程里却可能会出现“既约情况”，也就是说在求根公式里出现了“没有意义”的根式，但是如果我们不管这些，带着根号负一进行计算，那么有时这些不合理的根式会互相抵消而得到实数解。把它们带回原方程，我们可以检验它们的确是解。现在同学们都知道 ，通过引入虚数，那些“没有意义”的根式就根本不成其为一个问题。可是在历史 上虚数的存在性及它的意义曾经引起一场激烈的论战。虚数被讥笑为“数的鬼魂” ，一些象笛卡尔这样的大数学也拒绝承认它。这场争论一直要到一八零零年左右几何解释虚数成功后才慢慢平静下来。对实用主义者而言，虚数当然是一个计算的工具，只要它有用就行了，但对于严肃的数学家来说却并非如此。高斯就曾经说过，关键不在于应用，而在于如果歧视这些虚量，整个分析学就会失去大量的美和灵活性。为什么认为“歧视虚数”就不美呢？我想这是由于数学中第二个关于美的法则在起作用：对称性法则。当我们把虚数和实数认为是同样真实，只是分别属于一个统一的复平面的横轴和竖轴时，所有的代数方程的解对于实数和虚数而言就具有了一种对称性。而任何人为的“歧视”都将打破这种对称。
自十六世纪以来，人们就开始研究五次或者更高次的代数方程的求解问题，这个问题后来被证明是不可能的。有一个证明（按照年代来说是第三个证明）是法国数学家E•迦罗华[4]在一种更一般的理论框架中给出的。当时他的理论是如此之新
颖和富有创意，以至于直到他死后多年人们才克服了很大的困难弄懂。迦罗华注意到了对于一个已知方程，它的根的全部置换构成一个现在叫做迦罗华群的集合。而方程本身的能不能通过根式求解，则和这个集合的性质有关。用现在的语言来讲，
迦罗华群必须是一个可解群，解才可以写为根式。当方程的次数n=1,2,3,4时相应的迦罗华群是可解群，而当n大于等于5时不是。这套理论被认为是整个数学中最优美的篇章之一，那么它美在什么地方？第一它比起以前的证明都要简洁，第二它是通过问题模式中的对称性来解决问题的，最后按照A•波莱尔的说法，是因为它是以新的概念建筑起来的新结构下提出的原理，显示出巨大的独创性。这里我们得到一个新的美学概念：独创性。独创性和天才，灵气是分不开的。大家在听肖邦的音乐，看凡高的画时无疑可以感觉到和一般的音乐，一般的绘画很不一样。这种“不一样”所附加的美感，我想就是来自独创性。独创性来源于想象力和直觉，而这两点可以说是所有科学的共同追求目标。毕竟，如果仅仅是记熟了公式，方法，能够熟练地从事某种工作那只能被称为巧匠而不是大师。
就象我在最开头所说的，数学不是讨论具体问题，而是去研究相应的模式。模
式有大有小，2x^2+1x-1=0 的解是X=1/2或者说-1，这个“具体的”结论本身其实
也是一个模式。这不仅仅是因为x可以指代许多具体的事物，还因为任何数，包括2，1，-1，就已经不是两块橡皮，一根笔，欠一块钱这些具体的东西了。那么这个“数”本身是什么？以下的一段推理是逻辑主义对数的解释：
一切均不存在的状态叫做空集Φ。Φ的所有子集构成一个新的集合，叫做Φ的幂集P{Φ}。而P{Φ}的幂集又是另外一个集合，记为P^2{Φ}。通过一些简单的运算，我们可以发现P^n{Φ}的基数是2^n，而通过这些集合的并我们可以得到这些基数到正整数的一个满射。在所有集合（及其映射）构成的范畴里，用基数或者说映射的一一对应关系做一个等价类，把这些等价类就叫做自然数，那么我们就从无到有，运用最简单的集合论或者说是逻辑（集合论可以和数理逻辑有严格的一一对应，一个例子就是交集就相当于逻辑中的“或”）就可以得到整个（包括零的）正整数。然后就可以通过不相交集合的并来定义“加法”，这个拥有加法并且满足一些简单性质的集合叫做半群，通过对加法半群的求逆（即减法）完备化产生出所有整数。通过加法又可以定义乘法除法，通过对除法的完备化产生整个有理数域，而对有理数进行戴德金分割或者对有理数收敛数列进行分类我们又得到了整个实数。有了加法（减法）和乘法我们可以定义多项式，然后为了对求根运算封闭，我们还得把数域扩张到全体复数。其中最典型的一个元素 i 的定义就是一个满足 i^2=-1的“东西”。
这一段看似非常不自然而又冗长的推理告诉我们的是一个这样的事实，即对于
一个数学家来说，重要的不是他的研究对象的具体化，而是它们的性质，就连最基本的研究对象：数本身，也只是某种性质的形象化说法而已。这种思维就是抽象思维，通过不断深刻地从小模式中抽象出必要的性质，去除（或者综合）次要的性质，用尽可能少的条件来推出尽可能多的结论。爱因斯坦曾经说过一句话，大意是科学的发展就是不断地战胜二十岁以前人所有的“常识”。用在数学上，也十分贴切。因为抽象常常就意味着对某种公认的常识的挑战。在每一次的抽象过程中哪怕对于当时最优秀的数学家来说都是一种冒险的尝试，连象高斯这样的大家，在生前都不愿意发表他关于非欧几何的开创性的文章。一旦某个抽象过程被确认下来，数学也就随之更加完美。因而在这里，作为纯粹思维范畴的抽象性也是一种美学标准，而这个标准，从某种程度上讲是所有在数学中起作用的美学法则中最重要的一个，作为艺术的数学，也正是一种抽象的艺术。对了谈到抽象，我又想起了现代的抽象画和实验性的文学创作。拿数学和它们对比十分有意思，画家进行色彩和形态的组合，文学家把一个个的字写在一块，而我们则把一定的类型通过逻辑串起来。绘画和文学最初是对客观现实的模拟，古典数学也是；然而通过长期的模拟过程，人们发现了一种超越实在的“语言”，通过这种语言可以直接达到美。毕竟，艺术家们创造的全部艺术都必须通过人的审美来体现，从这个意义上讲他们创造的真正内容不是油画，诗歌，而是人的沉思，感动和激情。只有这样看，我们才能够理解非常不相似的文学和绘画，音乐竟然可以拥有相似的性质，从而是统一的艺术的不同分支。而巴罗克，洛可可，古典主义，浪漫主义，印象派，……在几乎每一个分支里都有代表就一点都不奇怪了。
形式是为内容服务的，而不是反过来，所以经过抽象后色彩和文字的“感性” 就远比它所附着的形式----绘画的主题和小说的情节更为重要。在数学上，这一步走得更加极端----一旦某个性质被提出来，它的构造就完全可以被忘记。拿向量的“长度”这个概念来说，它无疑具有实在的结构和意义。但是一旦我们意识到它满足三到四个代数性质[5]，并且我们在很多用到“长度”的定理证明中也只要这些性质时，它的“实在性”就完全被抛开，并推广到广泛得多的一大类空间中去，在那里，一个“向量”往往是一个函数。王浩[6]说，数学是一种类“纯净美”（try beauty），意思大概就是指它可以不附加任何不必要的（为现实服务的）修饰。这一境界对于任何一门艺术都非常不容易达到，而数学在这方面令人骄傲地走在了所有其它艺术形式的前面。
作为一门最古老的科学，数学的分支之间的距离越来越大。同样是搞数学，搞分析的常常完全看不懂代数方向的论文；同是搞分析，搞微分方程的和搞多复变的也没有什么共同语言；同是搞微分方程，常微分方程和偏微分方程也天差地远；甚至同属偏微分方程，椭圆型方程用的工具和抛物型又大不一样。数学这棵大树，分支看来是越来越往互不相干的方向在发展了。然而这一看似危险的分裂主义倾向却从来没有真正动摇数学作为一个思想体系的统一性。哈尔莫斯[7]是这样说的：“ 数学如今生气勃勃，分支如此众多，各分支又如此广博，基本上无人能全部了解。……但这不要紧，无论演讲是关于无界算子，交换群还是可平行曲面，相距很远的数学各部分之间的相互影响常常会出现。一个部分的概念，方法常常会对所有其他部分有启示。这一体系作为一个整体的统一性令人惊叹。”的确，在历史上曾经有过几何和代数完全脱节的时期，两个分支各自“过度”发展，变得无聊，极端复杂。比方说我们大家都不会对平面几何的怪题感到陌生，而对于古典代数当时情况也好不了多少。设想一下，在中世纪欧洲的某一个地方，一位运气不好的皇帝和他的朝臣们在一起，听一位有学问的意大利人讲解一个三次方程的解法。可怜的人们-----那位可爱的意大利人整整花了一个下午啊！如果没有魔法吸引住他们的注意力，他们肯定要打哈欠的！[8]
幸运的是，笛卡尔坐标系的建立开创了几何代数化的历程。而这种联合无疑为人们认识什么是古典几何和代数的精华提供了一个标准，使得人们可以把那些人为过度发展的分支抛开，集中精力研究那些更加深刻的问题。有了解析几何，才有了微机分和现代数学分析。再往后到了十九世纪末，当数学又一次陷于过分分叉和复杂化时，新的突破又出现了：人们发现定义“连续性”“极限”只要有开集就行了！再后来人们更以此为基础发现了一种描述空间在连续变形下不变性质的群，从而把现代代数和空间的几何性质联系起来。另外一个方面，“垂直”，“线性”和“ 距离”的概念，完全可以脱离有限维的欧氏空间，搬到类似“全体连续函数”这样的函数集合上去，并且在很大一类空间上可以建立坐标系，从而应用类似解析几何的方法来成批地研究函数，泛函数和算子。这两个不同的抽象方向就导致了拓扑和泛函分析的创立，体现了代数，几何和分析这三个高度分化的学科之间内在的统一性。而这种奇妙的统一性，既体现了数学的生命力，更反映出了造物的和谐。“和谐”是一个美学概念我想就不用我多讲了。这个概念恐怕是最神秘的一个，我们可以把握哪怕是最艰深的抽象，我们可以给所有的对称性分们别类，我们更能够(几 乎是本能地）知道简化的重要性，然而没有一次统一的和谐不是“偶然”出现的， 我们只能凭着信仰来感受这种和谐。这种“科学的”信仰其实和无条件的宗教信仰 并没有本质的区别，在约翰福音中耶稣说，“我就是道路，真理，生命，若不籍着 我，没有人能到父那里去”。按照我们数学的惯例，这句话也可以理解为真理和生 命就是基督的一种比较抽象的说法。G. Hardy就曾经说过，“我相信，数学实体 是在我们之外而存在的，我们的职能就是去发现它，观察它，我们证明的定理，我 们夸张地说成是我们的‘创造’的那些定理，不过是我们观察的记录而已。”[9]对于一个数学家，他一生都在创造方法和手段，但是没有一种手段本身可以保证他明天能够发现什么，或者发现的都是“有价值”的。他最后的力量依然是存在真理 世界和通向真理的道路的强烈信心。
我的俄国师兄曾经和我聊天，他那时正在为他的学生不会也不愿算积分题而烦 恼。不过他的抱怨是暂时的，因为他自己就认为将来这种技巧会随着计算器的发展而变得越来越不重要。我们做四则运算肯定不如大部分中学生快，但那不要紧，我们的任务不是算加减乘除，我们是要去发现和创新。甚至当有一天机器也拥有了发现和创新的本领时（这一点我的师兄深信不疑），我们也不会饿死，因为我们还可以作为艺术家而活下去。甚至于有些数学家象G. Hardy干脆就认为如果说数学有什么存在的理由的话，那就只是作为艺术而存在[10]。当我们意识到数学中的艺术性不仅仅是一种外带的附加的属性，而且是人类思考一个最根本的价值时，也许就会象我一样认为，当爱因斯坦说他不相信上帝会掷色子时，他的信心与其说是某种客观实践或者是逻辑推理，不如说是对他的上帝----自然真理之完美的深信不疑。
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