在二十世纪的头十多年，量子论经普朗克、爱因斯坦、玻尔等人之手，已为自己的存在争得了合法的立足之地。但是，它无论在内容和形式上，还或多或少地保留着经典理论的痕迹，在某些方面还是由一些假设、原理、规定和计算拼凑起来的大杂烩，没有形成一个严密的理论体系。在量子论发展史上，这往往被称为旧量子论或早期量子论。
量子论后来遵循着两条独立的路线发展着：一条由爱因斯坦关于辐射的波粒二象性思想出发，经过德布罗意的物质波概念，到达薛定谔的波动力学；另一条由玻尔的对应原理开始，导致了海森伯等人的矩阵力学的建立。
玻尔1913年的工作开辟了一个广阔的新天地，实验工作蓬勃开展，理论研究也急剧变化。玻尔那种幽居独思的方式已为一种相互协作、共同探讨的作风所代替。1916年，第一个投身到玻尔那里的是一位年轻的荷兰人克拉姆斯，在以后的十年里，他成为玻尔的不知疲倦的助手和有才华的合作者。
在此期间，还有许多学者来到玻尔那里工作，其中有年轻的克莱因、泡利、海森伯和狄喇克等人。玻尔也经常和慕尼黑的索末菲、哥廷根的玻恩、约尔丹和莱比锡的海森伯等人为首的研究团体保持着经常的密切联系。这样，在二十年代，以玻尔为中心，以哥本哈根理论物理研究所和德国的几个城市为基地，聚集了一文强大的科学研究队伍，形成了世界上力量最雄厚的理论物理学派——哥本哈根学派。
当时，哥本哈根成为“原子物理学的首都”和“量子物理学家的麦加”，哥本哈根学派一直在量子力学的创立和发展中起着主导作用，因此有人称其为正统学派，而玻尔则是这个学派公认的领袖。
物理学家、被誉为原子弹之父的奥本海默后来在回顾量子力学的历史时，曾高度地评价了玻尔的历史功绩。他说：“量子力学的建立不是哪一个人的功绩，而是来自不同国度的许多科学家共同努力的结果。然而从开始到结束，玻尔那种充满创造性的深刻思想和敏锐的、长于批判的精神，自始至终引导、制约着事业的前进，使之深入，直到最后完成。”
但是，玻尔的卓越才干也具有明显的局限性，他在凭借直观构造概念方面是无与伦比的，而在数学方法的运用上却比自己的同行和学生逊色很多。玻尔本人对这一点也直言不讳，他十分形象地说：他对物理学的兴趣与其说是数学家的兴趣，还不如说是工匠和哲学家的兴趣。
前面已经涉及到玻尔模型的固有缺陷和面临困难。最严重的问题也许在于，电子在这个模型中由量子条件规定而作周期运动，因而它应以一定的频率绕核旋转，然而这个频率绝不会在观察中出现，我们绝不会看到它。我们看到的是一些不同的频率，每一频率决定于从一个定态跃迁到另一个定态的能量差。后来，索末菲虽然引入角量子数和磁量子数，说明了氢光谱的精细结构、斯塔克效应和塞曼效应，可是这个条件本身的根据并不充分，也看不到把它推广到非周期系统的方法。用当时的理论即使能够计算谱线的频率，却不能给出它的偏离和强度。为了弥补这些缺点，出现了埃伦菲斯特的绝热假说和玻尔的对应原理，特别是后者，为矩阵力学的建立提供了指导原则。
对应原理的萌芽在1913年已经破土而出了，但明确形成则是在1918年。把量子论看成经典理论合理推广的企图导致了对应原理的陈述。玻尔认为，在极大量子数的态间跃迁的情况下，经典描述也应该是有效的。如果把原子当作多周期系统来分析，它的运动状态就可以用傅立叶级数描述为一系列谐振子运动的迭加，每一个振子都以一个确定的频率或它的整数倍的频率振动，其振辐也是一定的。
确实可以证实，极大量子数的态间跃迁频率与经典频率之间存在着大致的倍数关系，这个因子就是两个态间的量子数之差。因此，在大量子数的情况下，可以直接用经典的振辐来计算量子跃迁的强度。玻尔进一步把这些看法推广到多自由度的情况。
对应原理的实质在于，从前的经典规律和新的量子规律之间存在着某种对应关系，从对应关系上看，前一类定律是后一类定律的极限或个别情况。在附加上一定的条件后，二者之间就可以互相“转换”。1919年，克拉姆斯将对应原理用来处理斯塔克效应，其结果与观察一致，从而证实了它的有效性。
但是，它也不能对一切问题都作出直接的回答，它只是提供了线索，为了作出具体的解答，还必须加上种种限制和猜测。值得注意的是，它不仅为建立矩阵力学的数学结构起了前导作用，而且在认识论上也具有“巨大的意义”。
6、海森伯的矩阵力学
矩阵力学也许可以看作是用定量的关系来代替定性的对应原理的一个成功的尝试，它是海森伯在玻恩和约尔丹的协助下完成的。海森伯从1920年起在慕尼黑大学就学于索末菲，攻读理论物理专业，1923年得到博士学位后到哥廷根大学玻恩手下任助教，从1924年开始，他到哥本哈根理论物理研究所，在玻尔指导下从事研究工作。
海森伯一向认为，要解决新的物理学问题，需要大胆的思维。他说过：“在每一个崭新的认识阶段，我们永远应该以哥伦布为榜样，他勇于离开他已熟悉的世界，怀着近乎狂热的希望到大洋彼岸找到了新的大陆。”
1924年，在哥廷根的一次讨论会上，海森伯曾经强调指出，把量子论的困难单单归诸于辐射与力学体系间的相互作用是不正确的。他认为力学必须加以改造，必须用某种量子力学来代替(量子力学这个词大概是玻恩在1924年的一篇论文中首次使用的)，方能提供理解原子现象的基础。玻恩当时也注意到，量子论中代表跃迁特征的量对应于古典理论中振辐的平方，并发现了这种量的乘法规则，他想这也许是通向新力学的途径。
海森伯也常参加玻恩的讨论会，玻恩的思想无疑对他有启发。其实，海森伯先前还热衷于把量子论推广到谐振子之外，围绕着非谐振子问题进行了考虑。他还借助于一条重要的方法论原则，即可观察性原则。这个原则要求，在理论上应该抛弃那些原则上不可观测的量，而直接采用可观测的量。
海森伯事后曾这样谈到他那时的想法：“经典力学除了给出原子结构的某些定性的图景以外，显然不可能给出更多的东西，至于电子的周期性轨道，可能根本就不存在。直接观测到的不过是分立的定态能量和谱线强度，也许还有相应的振幅与位相，但绝不是电子的轨道。唯一的出路是建立新型的力学，其中分立的定态概念可以是基本的，而电子轨道概念看来是应当抛弃的。这个新的力学还应当能给出强度的定量估计，也就是光子辐射的几率变化，因此在设想的新的图景中可以期望出现统计的因素。”
1925年春夏之间，海森伯从哥本哈根返回哥廷很。同年6月，他因患枯草热病到海利戈兰特去疗养。在这期间，在他的头脑中孕育着一个极为大胆的新思想。疗养结束后，他立即完成了一篇具有历史意义的论文“关于运动学和力学关系的量子论的重新解释”。在论文中，海森伯抛弃了经典的电子轨道概念及其有关的经典运动学量，而代之以可观测到的频率和强度这些光学量。而在海森伯之前，人们所做的只是把玻尔轨道进行傅立叶分析，玻尔轨道的那些系数当然同实验毫无关系。
海森伯用一些同实验有比较密切关系的量来代替这些系数，这些量同辐射跃迁有关，它们每一个都涉及到两个状态。当仔细考察其中每一个都同两个状态相联系的量时，他发现这些量是不可对易的。本来，这种不可对易的代数学就是矩阵运算，但是当时海森伯并不了解它。他曾对玻尔说：“现在有学问的哥廷根数学家们这样起劲地谈论什么厄密矩阵，而我却甚至连什么是矩阵都不知道。”
海森伯感到自己无法将问题再推进一步，便于1925年7月将他的论文原稿交给他的老师玻恩，要玻恩决定是否应当发表，并问该论文是否有点用处。玻恩觉得这篇论文似乎显得“神秘”，但无论如何也是正确的。
玻恩后来回忆当时的情景说：“我不顾它的神秘的外表，而坚定地认为它是正确的，这就似乎表明当时我已经发现，海森伯的不寻常的演算实际上不过是人所共知的矩阵演算，而且我已经看出，海森伯对惯常的量子条件所做的新表述，表示了矩阵方程的对角线元素。因此对于其余的元素，这个量必定是零。”
玻恩和他的助手约尔丹讨论了海森伯的论文，并引入了矩阵运算。他们三人于1925年11月合著论文，建立了矩阵力学的理论体系。这样一来，经典力学中的坐标和动量便被厄密矩阵所取代。由这些矩阵可以构造出汉密尔顿短阵。当这个汉密尔顿矩阵经过酉变换而成为对角形时，对角线上的元素就是该系统的可能量。
就在同年的8、9月间，刚刚进入物理学前沿的英国青年狄喇克也看到了海森伯论文的校样，他起初并未引起重视，因为它与汉密尔顿理论有点不一致。十多天后重读这篇论文时，他突然顿悟到，它包含着打开原子世界秘密的钥匙。但是，他不满意海森伯的数学表述，企图利用一种数学工具把海森伯的矩阵力学纳入汉密尔顿体系。
10月的一个星期天，狄喇克独自到乡下散步，但他的脑子总甩不掉那个对易子。他突然想到泊阿松括号，这是法国数学物理学家泊阿松在1809年为研究行星起动而创造的，它是经典力学最有力的分析工具之—。能用极简明的形式表示经典力学的基本方程。于是，他把对易子和泊阿松括号联系起来，提供了处理量子论中力学量的偏微分方法。狄喇克于1925年11月完成了论文，轻轻扫去了横在玻恩、海森伯和约尔丹三人面前的巨大障碍，一举构造出量子力学的数学体系，使量子力学大大前进了一步。
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