分形能表现为对称地变化/生长的对象，或随机地非对称地变化的对象。在任一种情形中，分形都是按照用来描述和支配一个初始对象的生长的一些数学规则和模式而变化的。人们把一个几何分形看作无尽的生成模式──不断以较小式样复制自己的模式。于是当一个几何分形的一部分被放大时，它看起来恰如原来的式样。反之，当欧几里得几何对象例如圆的一部分被放大时，它看起来就逐渐地不那么弯曲了。蕨类植物是分形复制的理想例子。如果你瞄准分形蕨的任何部分，它看来就像原来的蕨叶。分形蕨可以在计算机上生成。
网络是把一个问题或状况用较简单的图表现出来的数学图形。网络被欧拉用在柯尼斯堡桥问题中（见本书“数学三剑客──逻辑、娱乐和游戏”章）。他把这问题简化成一个简单的图形，经过分析把它解决了。今天网络是拓扑学中常用的工具。
斐波那契数即 1，1，2，3，5，8，13，21，…。斐波那契（比萨的伦纳多）是中世纪的主要数学家之一。虽然他在算术、代数和几何领域都作出过重大贡献，他在今天则仅因这一数列而闻名，这正是他的《算盘书》（Liber Abaci）中一个难题的解。在19世纪，法国数学家爱德华?卢卡斯编的一本娱乐性数学书中有这个问题。斐波那契的名字与这数列联系起来就在此时。在自然界，这数列出现在下列植物中：
•花瓣数是斐波那契数的花（延龄草、野玫瑰、美洲血根草、大波斯菊、耧斗菜、百合花、蝴蝶花）叶、细枝和茎的排列形式称做叶序。选择茎上一片叶子，从它开始数叶片（假定没有一片折断），直至与所选叶片在同一直线上的叶片为止。数得的叶片数（所选第一片不计）在许多植物中通常是斐波那契数，例如榆树、樱桃树或梨树。
松果数：如果数出松果上的左手和右手螺线，这两个数往往是相邻的斐波那契数。对于向日葵和其他花卉的头状花序来说，情况也是如此。菠萝也是一样。观察菠萝的底部，数出由六边形状鳞皮组成的左右螺线数。它们应该是相邻的斐波那契数。
螺线和螺旋线：螺线是出现在自然界许多场所的数学形式，例如提琴头蕨类植物、藤蔓、贝壳、龙卷风、飓风、松果、银河、旋涡的曲线。有平坦螺线、三维螺线、右手和左手螺线、等角螺线、对数螺线、双曲螺线、阿基米德螺线，而螺旋线则是数学所描述的许多螺线类型中的几种。等角螺线出现在自然界的鹦鹉螺壳、向日葵头状花序、圆形织网蛛的网等生长形式中。等角螺线的儿个特性是：螺线切线同螺线半径所形成的角是全等到的（故名等角）；以几何速率增大，因此任何半径被螺线分割成的线段形成几何级数；长大时形状不变。
渐伸线：当一根绳正沿着另一曲线（这里是圆）绕上或脱下时，它描出一条渐伸线。渐伸线的形状见于鹰嘴、鲨鱼背鳍和棕榈树悬叶尖端。
三重联结：三重联结是三个线段的交会点，交点处的三个角都是120°。许多自然事件是由于边界或空间利用率所引起的一些限制而产生的。三重联结是某些自然事件所趋向的一个平衡点。除了别的场合以外，三重联结见于肥皂泡群、玉米棒子上谷粒的构成、地面或石块的裂缝。
对称：对称是人们在蝴蝶躯体、叶片形状、人体结构、圆的完美性中看到和感觉到的完全平衡。从数学的观点看来，一个对象被认为具有轴对称的条件是：人们能找到一条线把它分成全同的两部分，如果有可能沿这线折叠，这两部分将互相完全重叠。一个对象具有点对称的条件是：对于一个特定的点，存在着无穷多条这样的对称轴，例如一个圆对它的中心点来说具有点对称。
镶嵌：镶嵌一个平面，就是说能用平坦的拼砖覆盖这个平面，并且拼砖间没有空隙，也不互相交叠，例如用正六边形、正方形或其他形状的拼砖进行的镶嵌。空间的镶嵌或充填则用立方体或截头八面体等三维对象。
植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界。尽管叶子形状随种而异，但它在茎上的排列顺序(称为叶序)，却是极有规律的。
你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5o角。如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5o，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度数。植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。叶子的排布，多么精巧！
叶子间的137.5o角中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是 360o，
360o-137.5o=222.5o
137.5o :222.5o 222≈0.618。
瞧，这就是“密码”!叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618。
有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的。
19世纪中叶，德国心理学家费希纳曾经做过一次别出心裁的试验。他召开一次“矩形展览会”，会上展出了他精心制作的各种矩形，并要求参观者投票选择各自认为最美的矩形。结果以下四种矩形入选：
矩形 长×宽 宽与长之比 1 8×5 5∶8=0.625 2 13×8 8∶13=0.615 3 21×13 13∶21=0.619 4 34×21 21∶34=0.618
矩形 长×宽 宽与长之比
1 8×5 5∶8=0.625
2 13×8 8∶13=0.615
3 21×13 13∶21=0.619
4 34×21 21∶34=0.618
有趣的是，所得的四个矩形的长与宽，它们的比都接近于0.618。
今人惊讶的是，人体自身也和0.618密切相关。对人体解剖很有研究的意大利画家达•芬奇发现，人的肚脐位于身长的0.618处。科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服。
难道这些都是偶然的巧合吗? 不!它是客观世界反映出来的规律之一
由于这样得出的0.618有许多极为宝贵的性质，因此，人们珍惜地称它为黄金数，称点C为黄金分割点，称这种分割为黄金分割。
黄金数0.618，如今已越来越多地被人们所认识，并被人们所利用。
古希腊帕提依神庙由于高和宽的比是0.618，成了举世闻名的完美建筑。建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、壮丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、美丽。连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。
|
|
